解答・解説3
順列
異なる\(n\)個のものの中から\(r\)個を取り出して\(1\)列に並べる順列の総数は
\(_nP_r=n(n-1)(n-2) \cdots \cdots (n-r+1) = \cfrac{n!}{(n-r)!}\)
特に \(_nP_n=n(n-1)(n-2) \cdots \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1= n!\)
ただし,\(_nP_0=1, 0!=1\)と定める。
組合せ
異なる\(n\)個のものの中から異なる\(r\)個を取る組合せの総数は
\(_nC_r=\cfrac{_nP_r}{r!} = \cfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdots 3 \cdot 2 \cdot 1} = \cfrac{n!}{r!(n-r)!}\)
- (1)
- ①
-
異なる\(9\)個の球の中から\(4\)個取り出すので,\(_9C_4\)
次に,残りの\(5\)個の球の中から\(3\)個取り出すので,\(_5C_3\)
残りは,\(2\)個から\(2\)個取り出すので,\(_2C_2\)
\(_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = 126 \times 10 \times 1 = 1260 \)(通り)
- ②
-
3個ずつ3つのグループに分ける。3つのグループは区別がないので
\(\cfrac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \cfrac{84 \times 20 \times 1}{6} = 280\)(通り)
- ③
-
1個の球を\(A,B,C\)の3つのグループに分ける方法は3通りだから,9個の球について考えると,
\(3^9=19683\)(通り)
ⅰ) 3グループのうち1グループだけに全部分ける場合は \(3\)通り
ⅱ) 3グループのうちの2グループだけに少なくとも1個を分ける場合は
\((2^9-2) \times 3 = 510 \times 3 = 1530\)(通り)
ⅰ),ⅱ)より,9個の球を分ける方法は
\(19683-(3+1530)=18150\)(通り)
別解
分け方をひとつひとつ書き出し,計算する。
(1,1,7)と分けるとき,1個の組の2つは区別しないため,\(2!\)で割る。
\(\cfrac{_9C_1 \times _8C_1 \times _7C_7}{2!} = \cfrac{9 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 36\) となる。
残りも同様に考える。
(1,2,6)のとき \( _9C_1 \times _8C_2 \times _6C_6 = 252\)
(1,3,5)のとき \( _9C_1 \times _8C_3 \times _5C_5 = 504\)
(1,4,4)のとき \(\cfrac{ _9C_1 \times _8C_4 \times _4C_4}{2!} = 315\)
(2,2,5)のとき \(\cfrac{ _9C_2 \times _7C_2 \times _5C_5}{2!} = 378\)
(2,3,4)のとき \( _9C_2 \times _7C_3 \times _4C_4 = 1260\)
(3,3,3)のとき \(\cfrac{ _9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = 280\)
またそれぞれ3つのグループに分ける順列の総数は\(3!\)である。
よって,
\((36+252+504+315+378+1260+280) \times 3!= 3025 \times 3! = 18150\)(通り)
- (2)
-
球は区別されないため球を\(\bigcirc\)で表す。
9個の\(\bigcirc\)を並べて,仕切りの \(\mid\) を入れる列が何通りあるか,
考えるとよい。
\(\bigcirc \bigcirc \bigcirc \mid \bigcirc \bigcirc \mid \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc\)
これより \(\cfrac{11!}{9!2!} = 55\)(通り)