解答・解説1
- (1)
- \(y=x^2-2(a+1)x+5a+3\)
- 頂点を求めるには、平方完成を行う。
- \(=\{x-(a+1)\}^2-(a+1)^2+5a+3\)
- \(=\{x-(a+1)\}^2-(a^2+2a+1)+5a+3\)
- \(=\{x-(a+1)\}^2-a^2+3a+2\)
- よって頂点の座標は,\((a+1,-a^2+3a+2)\)
別解
接線の方程式の考え方から,頂点を求める。
接線の方程式
微分可能な関数\(y=f(x)\)上の点A\((a,f(a))\)における接線の方程式は
\(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
- (2)
- \(f(x)=\{x-(a+1)\}^2-a^2+3a+2\)とする。
-
\( ⅰ) a+1<0\) のとき つまり \(a<-1\) のとき
最小値 \(f(0) = 5a+3\)
-
\( ⅱ) 0≦a+1≦2 \) のとき つまり \(-1≦a≦1\) のとき
最小値 \(f(a+1)=-a^2+3a+2 \)
-
\( ⅲ) a+1>2\) のとき つまり \(a<1\) のとき
最小値 \( f(2)=a+3\)
-
以上のⅰ)～ⅲ)より
\(
\left\{
\begin{array}{ll}
a<-1 のとき 最小値 5a+3 \\
-1≦a≦1 のとき 最小値 -a^2+3a+2 \\
a<1 のとき 最小値 a+3
\end{array}
\right.
\)
- (3)
- (2)より
-
\( ⅰ) a<-1\) のとき
最小値 \( 5a+3=2\)
\(a=-\cfrac{1}{5}\)
\(a<-1\) より 不適
\( ⅱ) -1≦a≦1\) のとき
最小値 \( -a^2+3a+2=2\)
\( a^2-3a=0\)
\( a=0, 3\)
\( -1≦a≦1\) より \( a=0\)
\( ⅲ) a>1\) のとき
最小値 \( a+3=2\) つまり \( a=-1\)
\(a>1\) より 不適
以上 \(ⅰ)～ⅲ)\) より \(a=0\)